Rettangoli equivalenti e iperbole sul piano cartesiano

Divisi in gruppi avevamo il compito di trovare tutti i rettangoli aventi l'area di 36 cm2 le cui dimensioni (base e altezza) fossero numeri naturali.
Tutti i gruppi sono riusciti a trovare i rettangoli, di ciascun rettangolo abbiamo anche calcolato il perimetro.

Ecco la tabella:

MISURA in cm
base altezza  perimetro
1 36 74
2 18 40
3 12 30
4 9 26
6 6 24
9 4 26
12 3 30
18 2 40
36 1 74

I numeri della prima colonna sono i divisori di 36  
Il rettangolo che ha il perimetro minore è quello la cui base è di 6 cm e la cui altezza è di 6 cm. È perciò un quadrato.

piano cartesiano

Abbiamo poi ritagliato i diversi rettangoli disegnati su carta centimetrata e li abbiamo incollati su un cartellone che rappresentava il piano cartesiano.
Abbiamo riprodotto lo stesso lavoro sul quaderno.

piano cartesiano

Abbiamo collegato con una particolare curva i vertici dei rettangoli che corrispondevano alle coordinate (1, 36), (2, 18) (3, 12) e così via.

La maestra ci ha detto che disegneremo questa particolare linea curva con GeoGebra. Avevamo gia imparato a disegnare una linea retta qui.
Non ci ha detto il nome della curva, l'avremo scoperto con GeoGebra. Ci ha solo detto che iniziava per «i».
Ecco allora quello che è successo.


Cristiano è intervenuto dicendo: «Sarà IPERcurva».
La maestra si è stupita nel vedere come Cri si fosse avvicinato al nome esatto e ha scritto «IPER» sulla lavagna.
Quello spiritosone di Matteo fa: «La curva potrebbe chiamarsi carrefour, allora».
Anche la maestra non ha potuto fare a meno di ridere.



Insomma, eccovi finalmente il nome della curva: si chiama IPERBOLE.

Questa l'applet di GeoGebra (la curva celeste è l'iperbole):



Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.




È molto facile tracciarla con GeoGebra. Basta tenere presente che:
l'ascissa x corrisponde alla misura della base e l'ordinata y alla misura dell'altezza.

L'area del rettangolo, come ben sappiamo, si calcola moltiplicando la base per l'altezza.

Poiché l'area del nostro rettangolo deve essere di 36 cm2, provate, qui sotto, a scrivere nella riga di Inserimento di GeoGebra:
x * y = 36
Sappiamo che il segno della moltiplicazione è l'asterisco e sappiamo che si può anche omettere. Potete perciò solo scrivere:
x  y = 36
Provate anche a scrivere altri numeri invece del 36.

Applet:




Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.





Segnate poi un punto sull'iperbole, tracciate da quel punto una retta perpendicolare a ciascuno degli assi.
Individuate i punti di intersezione e costruite con lo strumento Poligono il rettangolo.
Se non ci riuscite, guardate il video per capire come fare.



Muovendo il punto sull'iperbole non otterremo così solo i rettangoli aventi per base e altezza numeri naturali, ma anche numeri decimali.
Noi ci siamo divertiti a inserire un arrotondamento di 15 cifre decimali.
Eccovi qui sotto tutti i possibili rettangoli (quanti sono?) con l'area di 12 cm2. Muovete il punto sull'iperbole.

Applet di GeoGebra:




Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.


Indice GeoGebrageogebra