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Rettangoli equivalenti e iperbole sul piano cartesiano

Divisi in gruppi avevamo il compito di trovare tutti i rettangoli aventi l'area di 36 cm2 le cui dimensioni (base e altezza) fossero numeri naturali.
Tutti i gruppi sono riusciti a trovare i rettangoli, di ciascun rettangolo abbiamo anche calcolato il perimetro.

Ecco la tabella:

MISURA in cm
base altezza  perimetro
1 36 74
2 18 40
3 12 30
4 9 26
6 6 24
9 4 26
12 3 30
18 2 40
36 1 74

I numeri della prima colonna sono i divisori di 36  
Il rettangolo che ha il perimetro minore è quello la cui base è di 6 cm e la cui altezza è di 6 cm. È perciò un quadrato.

piano cartesiano

Abbiamo poi ritagliato i diversi rettangoli disegnati su carta centimetrata e li abbiamo incollati su un cartellone che rappresentava il piano cartesiano.
Abbiamo riprodotto lo stesso lavoro sul quaderno.

piano cartesiano

Abbiamo collegato con una particolare curva i vertici dei rettangoli che corrispondevano alle coordinate (1, 36), (2, 18) (3, 12) e così via.

La maestra ci ha detto che disegneremo questa particolare linea curva con GeoGebra. Avevamo gia imparato a disegnare una linea retta qui.
Non ci ha detto il nome della curva, l'avremo scoperto con GeoGebra. Ci ha solo detto che iniziava per «i».
Ecco allora quello che successo.


Cristiano è intervenuto dicendo: «Sarà IPERcurva».
La maestra si è stupita nel vedere come Cri si fosse avvicinato al nome esatto e ha scritto «IPER» sulla lavagna.
Quello spiritosone di Matteo fa: «La curva potrebbe chiamarsi carrefour, allora».
Anche la maestra non ha potuto fare a meno di ridere.



Insomma, eccovi finalmente il nome della curva: si chiama IPERBOLE.

Questa l'applet di GeoGebra (la curva celeste l'iperbole):



Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.




È molto facile tracciarla con GeoGebra. Basta tenere presente che:
l'ascissa x corrisponde alla misura della base e l'ordinata y alla misura dell'altezza.

L'area del rettangolo, come ben sappiamo, si calcola moltiplicando la base per l'altezza.

Poiché l'area del nostro rettangolo deve essere di 36 cm2, provate, qui sotto, a scrivere nella riga di Inserimento di GeoGebra:
x * y = 36
Sappiamo che il segno della moltiplicazione è l'asterisco e sappiamo che si può anche omettere. Potete perciò solo scrivere:
x  y = 36
Provate anche a scrivere altri numeri invece del 36.

Applet:




Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.





Segnate poi un punto sull'iperbole, tracciate da quel punto una retta perpendicolare a ciascuno degli assi.
Individuate i punti di intersezione e costruite con lo strumento Poligono il rettangolo.
Se non ci riuscite, guardate il video per capire come fare.



Muovendo il punto sull'iperbole non otterremo così solo i rettangoli aventi per base e altezza numeri naturali, ma anche numeri decimali.
Noi ci siamo divertiti a inserire un arrotondamento di 15 cifre decimali.
Eccovi qui sotto tutti i possibili rettangoli (quanti sono?) con l'area di 12 cm2. Muovete il punto sull'iperbole.

Applet di GeoGebra:




Renata, 27 settembre 2009 (10 agosto 2016), creato con GeoGebra.


Indice GeoGebrageogebra